数学分析里面的蕴含(⇒)到底是什么意思

前言:数学分析里面A蕴含B,记作:A⇒B(在逻辑学上记作A→B),其真值表如下:

A B A⇒B
T T T
T F F
F T T
F F T

(其中T为true,F为false)
分析:通过上面的真值表,我们可以简单得到如下的几个结论:
结论1 若A为F,无论B值是T或F,都可得到A⇒B为真。
结论2 要想A⇒B为真,只需验证不会出现A为T,B为F的情况。
深入:蕴含,其实是语意上比较弱的定义,A蕴含B,表示A包含B,更确切的,表示A如果为T则B有可能为T。就是说蕴含其实是一种包含关系,或者更确切的是一种可能域(可能域是笔者自创的词,B的可能域意指B是否可能发生,可能域只有可能和不可能两个值)的关系。注意到A和B有可能相关也有可能不相关,不难想象可能域的概念要比包含关系更泛,因为可能域可以描述A和B相关和不相关的情况,而包含只用于相关情况。(所以可以这么说:包含⇒可能域)。下面来验证一下上面两个结论。
1 A和B不相关,用可能域来验证。
a) 验证结论1:
A:太阳打西边出来(假)。
B:牛有八只脚(假) / 牛有四只脚(真)。
可以看到太阳打西边出来是假命题(都知道太阳是不可能打西边出来),这样可以断言A⇒B(A蕴含B),因为A为假命题的话讨论A⇒B真假就不需要看B的值了,可以想想,原本是假命题的如果成真了,逻辑乱套了,B自然有可能为真命题也有可能假命题。在这里可以表述为:如果太阳都打西边出来了,牛有可能有八只脚,当然也有可能有四只脚。(这其实就像讨论 1 || X,可以看到我们不用知道X,就能断言1 || X 为true。)(注意到我们这里用的是可能的概念。)
b) 验证结论2:

A:太阳打东边出来(真)。
B:牛有八只脚(假) / 牛有四只脚(真)。
在这里A是真命题,来看下面的表达:如果太阳打东边出来(显然),那牛有没有可能为八只脚。很显然没可能,因此是得不到A⇒B的。再来看:如果太阳打东边出来(显然),那牛有没有可能为四只脚(显然)。很显然可能,因此能得到A⇒B。可以看到想要A⇒B,只需要验证太阳打东边出来(真命题)时,不会出现假命题——牛有八只脚(假命题)的情况。这样得到了验证。
2 A和B相关,分两种情况。
a) 验证结论1:
这种情况只能运用不相关情况的可能域来判断,同上面A和B不相关的验证结论1同。
b) 验证结论2:
这种情况就可以运用包含的概念来描述了,特别地,包含关系可以画图表述。
A:Danny来过广州。
B:Danny来过中国。
这个可以用一张图来表述如下:

这样能清楚地看到Danny来过中国的可能域(这里的可能域值的是圆圈包含的范围)要比Danny来过广州的可能域要大。(所以可以断言A⇒B。)
再来看结论2,有没有可能在Danny来过广州的圈圈里时,不在Danny来过中国的圈圈里呢?很显然不可能,因此验证了结论2。

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